ALS - Magazine 4 - Janvier 2013

Bibliographie [1] Nash J (1954) C 1 -isometric imbeddings. Annals of Mathematics 60(2):383-396 [2] Kuiper N (1955) On C 1 -isometric imbeddings.Indag. Math. 17:545-556. [3] Gromov M (1970) A topological technique for the construction of solutions of differential equations and inequalities. Proc Int Congress Math 2:221-225. [4] Gromov M (1986) Partial Differential Relations (Springer, Berlin) [5] Borelli, Jabrane, Lazarus et Thibert (2012), Flat tori in three-dimensional space and convex integration, Proceedings of the National Science Adacemy of the USA. [6] Projet Hévéa : http://math.univ-lyon1.fr /~borrelli/Hevea.html [7] Lozeille, Dervieux, Alauzet (2010), Fully anisotropic goal-oriented mesh adaptation for 3D steady Euler equations, Journal of Computational Physics [8] Botsch, Kobbelt, Pauly, Alliez, Levy (2010), Polygon Mesh Processing, AK Peters / CRC Press ALS Mag / 7 Le tore plat La Figure 8 montre une paramétrisation triviale du tore, qui ne préserve pas les distances. En effet, on peut remarquer que les horizontales du quadrillage deviennent bien plus longues sur le pourtour externe que sur le pourtour interne. Une conséquence étonnante des travaux de Nash et Kuiper est qu’il existe un plongement isométrique du tore en 3D, à savoir une surface équivalente au tore de la figure 8 (dans le sens que les arêtes A,B,C,D se connectent de la même manière), ainsi qu’une fonction permettant de déformer un carré en celle-ci tout en préservant la longueur de toute courbe. De plus, on sait que cette fonction est de classe C 1 (dérivées continues) mais pas de classe C 2 (dérivées secondes non continues). Cette dernière caractérisation fait que la fonction en question est d’une certaine manière « exotique », puisque pour une fonction C 1 classique (non-« exotique »), on pourrait facilement imaginer une petite déformation qui la rende C 2 . Alors que l’existence de cette surface est connue depuis les années 50, ce n’est qu’en 2012 que Borelli, Jabrane, Lazarus et Thibert, des mathématiciens de Lyon et Grenoble, ont réussi à calculer et à visualiser cette surface (Figure 9) au terme de plusieurs années de travail acharné [5,6]. Les résultats de Nash et Kuiper, concernant essentiellement l’existence de ces objets, ne donnent pas une manière pratique pour calculer cet objet. Gromov, un autre mathématicien, a développé dans les années 70-80 l’intégration convexe [3,4], un outil mathématique qui non-seulement généralise les résultats de Nash et Kuiper, mais aussi fournit des moyens de construire des solutions effectives. C’est en utilisant ce formalisme que Borelli et ses collègues sont parvenus à mettre au point un algorithme numérique pour calculer cette surface, révélant par là-même sa nature « exotique ». Il s’agit d’une surface fractale, à savoir si on regarde la Figure 9 à n’importe quel niveau de grossissement, des détails continuent d’apparaitre. C’est ce caractère fractal qui permet de répartir les distorsions métriques jusqu’à les faire disparaitre totalement. C’est également ce caractère fractal qui empêcherait de la déformer de manière à obtenir une paramétrisation C 2 . A quoi cela sert-il ? Saint-Exupery nous dirait que « c’est véritablement utile puisque c’est joli » si l’on se réfère au caractère esthétique des images générées, ou de manière plus approfondie, «élégant» si l’on se réfère aux développements mathématiques, mais surtout, ce résultat fait progresser les mathéma- tiques en exhibant de nouvelles classes d’objets exotiques. Le «tore plat» est une fractale, et pourtant, de manière étonnante, il admet un plan tangent en tout plan. Ce n’est pas le cas des fractales plus «classiques», telles que le flocon de Von Koch (Figure 10), qui lui n’admet de vecteur tangent nulle part. Cette nouvelle classe de «fractales lisses» permet de mieux comprendre la structure des solutions de certaines équations aux dérivées partielles. La notion de métrique G est également très importante pour la simulation numérique, qui permet d’utiliser l’ordinateur pour mieux comprendre certains phénomènes physiques et pour faciliter les travaux de conception. Par exemple, la Figure 11 montre une simulation de vol supersonique [7]. Le volume d’air autour de l’avion est représenté par un ensemble de tétraèdres (petites pyramides), ici visualisés en coupe. Afin d’améliorer la précision des calculs, il est important d’orienter ces tétraèdres le long des directions où les grandeurs physiques varient le plus rapidement (à savoir les ondes de chocs). Ceci est formalisé par une métrique G, prise en compte par l’algorithme de génération de maillage. Figure 10 : la fractale de Koch Figure 11 : simulation numérique de vol supersonique