ALS - Magazine 4 - Janvier 2013

6 / ALS Mag Figure 8 : paramétrisation triviale d’un tore Article > Bruno Lévy L’étonnant théorème de Nash-Kuiper Nous avons évoqué dans le paragraphe précédent la manière dont le tenseur métrique G d’une paramétrisation permet de mesurer les déforma- tions lorsqu’on transforme un espace 2D vers une surface. On peut s’intéresser au problème inverse, à savoir étant donné un domaine 2D et une fonction G, est-il possible de retrouver une surface 3D telle que G corresponde au tenseur métrique de la paramétrisation ? La figure 7 montre une visuali- sation d’une telle fonction G. Etant donnée G, on peut définir la distance anisotrope entre deux points du plan comme la longueur de la courbe la plus courte (qui peut être non-unique) connectant ces deux points, la longueur d’une courbe étant définie par ∫ t=01 √ ( ( G(p(t), v(t), v(t))) dt (on remplace le produit scalaire par G dans la formule donnant la longueur d’une courbe). Les ‘haricots’ correspondent à l’ensemble des points ‘équidistant’ de chacun des points noirs, où ‘équidistant’ est à prendre au sens de cette distance anisotrope. La figure 7 montre une surface 3D qui, vue de haut, permet de reproduire cette distance anisotrope. Les déformations des cercles sont le résultat de cette projection. Le théorème de Nash-Kuiper [1,2] nous apprend que la construction d’une telle surface est toujours possible. Toutefois, dans le cas général, à savoir pour une métrique G quelconque, un nombre supérieur de dimensions est nécessaire (6D dans notre cas). Le géomètre et l’ordinateur à la conquête d’univers réels et virtuels Figure 7 : un champ de métrique G et une surface 3D le reproduisant par projection Figure 9 : plongement isométrique d’un tore