ALS - Magazine 4 - Janvier 2013

ALS Mag / 5 Figure 3 : le «dépliage» Figure 1 : un maillage Figure 2 : le même texturé Figure 4 : planisphère et paramétrisation Le produit scalaire : un outil de mesure Le produit scalaire est l’outil géométrique qui permet de mesurer les distances et les angles. En effet, la norme d’un vecteur V est donnée par la racine carrée du produit scalaire √ (V.V). L’angle entre deux vecteurs V et W est donné par la relation V.W = cos(V,W) x ||V|| x ||W||. Le produit scalaire permet également de mesurer la longueur d’une courbe: étant donnée la trajec- toire d’un point matériel C(t), la longueur de cette trajectoire est donnée par l’intégrale de la vitesse au cours du temps, à savoir ∫ √ (v(t).v(t)) dt La figure 6 montre deux vecteurs w1 et w2 émanant d’un point p de l’espace 2D qui sont transformés par la paramétrisation sur la surface 3D en deux vecteurs V1 et V2. Le produit scalaire entre ces vecteurs V1 et V2 peut s’exprimer en fonction de p,w1 et w2 à l’aide d’une fonction G par V.W = G(p,w1,w2). Cette fonction G est linéaire en w1 et w2. Elle est définie à partir des dérivées premières de la paramétrisation. En référence à l’utilisation du produit scalaire comme outil de mesure géométrique, on appelle cette fonction G le «tenseur métrique» (on l’appelle aussi la «première forme fondamentale»). Les méthodes de plaquage de textures minimisent une estimation des déformations pour calculer la version «dépliée» d’une surface. Par exemple, il est possible de minimiser les déformations d’angles (d’assurer que les carrés de la Figure 5 restent des carrés) en calculant des paramétrisations dites «conformes». 0 1 Plaquage de textures et paramétrisation de surfaces L’une des représentations les plus courantes pour représenter des objets en 3D dans un ordinateur consiste à les décomposer en un ensemble de polygones [8], ce qu’on appelle un maillage (Figure 1). Afin d’augmenter le réalisme de ces images, la technique dite du «plaquage de textures» permet d’habiller un tel maillage avec une image (Figure 2). Cette technique consiste en quelque sorte à «déplier» le maillage, ce qui permet ensuite de le mettre en correspondance avec l’image (Figure 3), de la même manière qu’un planisphère permet de représenter la surface du globe terrestre (Figure 4). D’un point de vue formel, ceci revient à calculer une paramétrisation de la surface, à savoir une fonction mettant la surface en correspondance avec un sous ensemble du plan. Lors du calcul de cette paramétrisation, afin d’obtenir un résultat de bonne qualité visuelle, il est important de minimiser les déformations de l’image. Ces déformations peuvent se formaliser à l’aide du langage de la géométrie différentielle, qui permet de quantifier de quelle manière les distances et les angles mesurés sur l’image sont modifiés lorsque celle-ci est appliquée sur le modèle. Par exemple, sur la Figure 5, obtenue en déformant un motif de damier sur la surface, on souhaite savoir si les carrés restent des carrés, s’ils changent de taille, et comment les distances et les angles sont déformés. Figure 6 : produit scalaire en 2D (entre w1 et w2) et produit scalaire en 3D (entre V1 et V2) Figure 5 : déformations d’un damier