ALS - Magazine 3 - Janvier 2012

Spécification d’un modèle macroscopique Le modèle LWR (Lighthill et Whitham 1955, Richards 1956) Description Trois variables décrivent la dynamique du trafic : le débit, la concentration, la vitesse. Ces variables sont reliées par deux relations toujours vérifiées : • la conservation du trafic, • le débit est égal au produit de la vitesse par la concentration. Le diagramme fondamental fournit la troisième relation, et on obtient ainsi un modèle qui s’exprime par une équation de conservation. Ce modèle de base admet de multiples extensions dont la plupart s’expriment au travers d’un formalisme unique appelé GSOM (Generic Second Order Model, Lebacque et al , 2007) . Un modèle GSOM est un modèle LWR augmenté d’équations décrivant la dynamique d’attributs des conduc- teurs. Voici quelques exemples d’attributs : destination, comportement (plus ou moins agressif), type de véhicule, paramètre du diagramme fondamental (vitesse désirée, capacité i.e. débit maximum), etc. Les modèles de type GSOM entrent dans la catégorie des modèles de trafic dits d’ordre supérieur (par opposition au modèle GSOM dit d’ordre 1). Les modèles de trafic d’ordre supérieur ont été introduits pour expliquer la dispersion des mesures de trafic par rapport au diagramme fondamental. Construction de modèles discrétisés. Celle-ci repose sur le concept d’offre et de demande locales de trafic. L’offre locale de trafic peut se définir comme le débit maximum entrant en un point (lié au processus sécurité) : si une section d’infras- tructure porte une concentration élevée, le trafic entrant maximum dans cette section est faible. La demande locale de trafic peut se définir comme le débit maximum sortant (lié au processus de maximisation de la vitesse). Si une section d’infrastructure porte une concen- tration faible, le trafic sortant maximum de cette section est faible ; par contre si une section d’infrastructure porte une concentration forte, le trafic sortant maximum de cette section est aussi élevé que possible. La figure 4 illustre ces concepts : Un résultat fondamental permet d’exprimer le débit en tout point comme le minimum de l’offre immédiatement en aval de ce point aval, et de la demande immédiatement en amont de ce point. On conçoit alors aisément le principe d’une discrétisation du modèle LWR (et des modèles de type GSOM) (Lebacque 1984, 1993, 1996, Daganzo 1994). L’infrastructure est divisée en cellule (typiquement de longueur de l’ordre de la centaine de mètres, par exemple 300 m) , le temps est discrétisé en pas de temps (par exemple 12 s). La longueur d’une cellule égale le pas de temps fois la vitesse maximale (par exemple : Vmax = 25 m/s = 90 km/h pour une longueur de 300 m et un pas de temps de 12 s). A chaque pas de temps, on fait le bilan débit entrant – débit sortant dans chaque cellule afin de déterminer la variation de la concentration de la cellule. Le débit sortant est le minimum de la demande de la cellule et de l’offre de la cellule aval, cependant que le débit entrant est le minimum de l’offre de la cellule et de la demande de la cellule aval. Ce schéma est d’une remarquable simplicité : le code premier modèle construit ainsi, SSMT (Lebacque 1984) pour la simulation du trafic urbain (incluant donc des intersections) ne dépassait pas 400 lignes en langage de programmation Fortran. Figure 4 : construction de l’offre et de la demande à partir du diagramme fondamental Remarques Cette construction s’adapte sans difficulté à la famille de modèles GSOM. Le concept d’offre et de demande permet de construire des modèles d’intersections macroscopiques simples et de fort pouvoir explicatif (Lebacque Khoshyaran 2005). Ces modèles intègrent les contraintes de capacité et de vitesse maximale, ainsi que le diagramme fondamental, et représentent fidèlement la dynamique du trafic à grande échelle. Ils se prêtent bien à l’utilisation pour la gestion du trafic. Pour modéliser une diminution du nombre de voies, il suffit de modifier le paramètre de concentration maximale, qui est proportionnel au nombre de voies. Pour modéliser un incident ponctuel, il suffit de borner l’offre au droit de l’incident. Pour modéliser une limitation de vitesse, il suffit de borner le diagramme fondamental en vitesse. Les ondes cinématiques sont également bien représentées. Il est à noter cependant que la discrétisation introduit une certaine viscosité numérique qui a tendance à lisser les ondes de choc. La figure 5 montre la propa- gation d’une onde de choc induite par une restriction de capacité (à gauche). Le modèle qui a permis d’obtenir cette figure est de type GSOM stochastique (Khoshyaran Lebacque 2007); le rendu de la propagation de l’onde cinématique est très proche de la réalité. ALS Mag / 39 Figure 5 : propagation d’une onde de congestion. Axe vertical : densité, axe horzontal : espace (propagation du trafic de droite à gauche), axe diagonal : temps Figure 6 : les congestions persistantes de Kerner (1996), à gauche , à comparer avec un modèle LWR à accélération bornée (Lebacque 2002 2003) à droite. Débit en fonction du temps et de la position Par contre, les modèles de type LWR et GSOM, bien que très efficaces pour la gestion macroscopique, n’expliquent pas la totalité des phénomènes d’écoulement du trafic, en particulier les phénomènes de congestions persistantes (Kerner). Il s’agit de congestions qui se propagent sur autoroute sur de grandes distance de l’ordre de la dizaine de kilomètres) et pendant des temps longs (de l’ordre de l’heure) sans dispersion. La prise en compte de ces phénomènes requiert des adaptations spécifiques des modèles, notamment le caractère borné de l’accélération des véhicules (limitée à 2 m / s 2 ). Voir figure 6.