ALS - Magazine 3 - Janvier 2012

ALS Mag / 33 Jérôme POUSIN Estimation de mouvement par transport optimal Le transport optimal, initialement proposé par G. Monge pour traiter le problème des déblais et des remblais, a connu durant la dernière décennie un très grand intérêt de la part des mathématiciens [A23]. Le problème du transport d’une image vers une autre est un problème mal posé, car il n’y a qu’une équation, celle du flot optique, pour plusieurs inconnues : le niveau de gris I, et la vitesse. Une formulation du transport optimal dépendant du temps due à Brenier [A10], montre que le transport optimal dépendant du temps équivaut à minimiser ’l’énergie cinétique’ liée au déplacement du niveau de gris. Le cœur étant un muscle, déterminer son évolution entre deux images en minimisant cette énergie cinétique semble raisonnable. C’est ce qui a été proposé dans [A22], et les résultats obtenus dans le cas 2D sont présentés à la figure 6. Néanmoins, il faut mentionner que la complexité du mouvement du cœur ne pourra être reproduite que si des contraintes ad hoc sont ajoutées à l’équation du transport optimal temporel [A19]. Conclusion Ces dernières années, la communauté des mathé- matiques appliquées s’est emparée des probléma- tiques du traitement d’images et fait pour l’heure une grande partie des dernières innovations de ce domaine. Les problèmes du traitement d’images, et en particulier la segmentation d’images et l’esti- mation de mouvement, sont clairement des problèmes dits mal posés à partir de données éparses et bruitées. Les théories mathématiques permettent d’apporter des solutions dont les propriétés sont démontrables. C’est un atout important dans l’optique de leur utilisation en routine dans des applications critiques comme le domaine médical. Fig. 6 : Transport optimal de l’image (a) à l’image (d) avec deux images intermédiaires à 1/3 (b) et 2/3 (c) du temps. Dossier > CV Jérôme Pousin est docteur en mathématiques de l’Université Pierre et Marie Curie, Paris VI et docteur ès sciences mathé- matiques de l’Ecole Polytech- nique Fédérale de Lausanne. Il est Professeur de Mathématiques à l’INSA de Lyon depuis 1993 et son domaine de recherche est la modélisation mathématique pour l’imagerie. Il est responsable de l’Institut Camille Jordan de l’INSA, laboratoire constitué d’environ 200 membres menant des recherches couvrant l’essentiel du spectre mathématique. Jérôme Pousin a été également jusqu’en 2011 coprésident français du CMCU, Comité Mixte Franco-Tunisien pour la Coopération Universitaire. J. Pousin Université de Lyon, ICJ INSA de Lyon UMR CNRS 5208