ALS - Magazine 3 - Janvier 2012

ALS Mag / 25 Opportunité d’arbitrage Une opportunité d’arbitrage est une stratégie, un portefeuille, qui permet de gagner de l’argent avec une mise de fond nulle. Donnons un exemple d’arbitrage. Supposons qu’un actif vaut aujourd’hui 100 euros et que, dans un an, il puisse valoir 105 ou 108 euros. Supposons par ailleurs que le loyer de l’argent sur la période considérée est de 5 %. On peut réaliser une stratégie d’arbitrage en achetant à crédit (aujourd’hui) l’actif en question en empruntant 100 euros au taux de 5 % sur un an. Un an plus tard, la dette est de 100 x 1,05 = 105 euros mais la revente de l’actif procure au moins 105 euros. Dans le meilleur des cas, il y a même un gain de 3 euros. Le travail de certains acteurs financiers, les arbitragistes, consiste à déceler des opportunités d’arbitrage. Il s’agit pour l’essentiel de repérer sur les marchés financiers un même produit coté à deux prix différents et à deux endroits différents. Ces anomalies sont possibles compte tenu de la multitude des actifs financiers sur toutes les places financières mondiales. Les méthodes requises nécessitent de puissants outils informatiques pour repérer les disparités et agir rapidement avant que le marché ne les corrige. On s’attachera dans la suite à étudier les cas où il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage. Les options d’achat On considère un actif qui peut être une action, un taux de change. Supposons que cet actif (ou sous- jacent) soit coté 100 euros aujourd’hui. Adoptons le point de vue d’un investisseur achetant une option d’achat (call) portant sur une quantité unité de sous-jacent auprès d’un établissement financier. Ce produit dérivé permet à son détenteur d’acheter le sous-jacent, à une date future T, au prix K fixé à l’avance. Cet investisseur paye une prime C0 à la date t = 0 . Détaillons les flux à la date T lorsque K = 101 euros. Supposons qu’à cette date l’actif puisse prendre deux valeurs 98 ou 108 euros. Lorsque le sous-jacent vaut 108 euros, le détenteur exerce son option d’achat : il peut se procurer l’actif au prix de 101 euros. Il le revend au prix de marché. Il réalise ainsi un gain de 108 – 101 = 7 euros. En pratique, l’établissement vendeur de l’option donne directement 7 euros au détenteur de l’option. Dans le cas contraire (i.e. lorsque l’actif est coté 98 euros), l’investisseur n’exerce pas son option, puisqu’il ne va acheter l’actif au prix de 101 euros alors qu’il n’en vaut que 98 euros ; son gain est alors nul. Dans le cas d’achat de 10 000 calls, l’acheteur des options peut être détenteur de 7 x 10 000 = 70 000 euros ou avoir tout perdu à la date T. Les options d’achat sont des produits spéculatifs qui possèdent un fort effet de levier , elles amplifient les hausses mais aussi les baisses. Quant à l’établissement financier qui a vendu ces 10 000 options d’achat, il est impératif qu’il adopte une stratégie de couverture car, dans le cas de la hausse du sous-jacent, il doit être en mesure de fournir 70 000 euros. Supposons que le loyer de l’argent pour la période envisagée soit de 5 %. On peut construire une stratégie de couverture avec un achat de 7000 parts d’actifs et un emprunt de 653 333 euros. En effet, à la maturité de l’option, il y a deux possi- bilités : h Le sous-jacent vaut 108 euros, la valeur V de ce portefeuille est : V = 7000 x 108 – 653 333 x 1,05 = 70 000. h Le sous-jacent vaut 98 euros, alors V = 7000 x 98 - 653 333 x 1,05 = 0. On remarque ainsi que ce portefeuille est une couverture efficace puisqu’elle permet à l’établis- sement financier de payer en toutes circonstances ce qu’il doit à l’acheteur des 10 000 calls. De plus le prix V0 de ce portefeuille à la date t = 0 (aujourd’hui) est V0 = 7000 x 100 – 653 333 = 46 667 euros. On en déduit que le prix d’un call est C0 = V0 = 4,67 euros. 10 000 On peut retrouver ce résultat en introduisant un modèle probabiliste. Rappelons qu’à la date T, le sous-jacent S peut prendre deux valeurs 98 ou 108. On supposera les valeurs suivantes pour les probabilités : Prob ( S = 98 ) = 0,3 et Prob ( S = 108 ) = 0,7 Notons C la valeur du call à l’échéance. Nous avons vu que C prend les deux valeurs 0 ou 7. De plus : Prob ( C = 0 ) = 0,3 Prob ( C = 7 ) = 0,7 Par conséquent la valeur moyenne de call est : Callmoyen = 0 x 0,3 + 7 x 0,7 = 4,9 Ce flux a lieu à la maturité. Si nous l’actualisons, nous obtenons 4,9 / 1.05 = 4,67. C’est exactement C0 ! Ceci n’est pas une coïncidence fortuite. Remarquons que la valeur aujourd’hui du sous- jacent de 100 euros est la moyenne actualisée du sous-jacent. En effet on a : 1 x (98 x 0,3 + 108 x 0,7) = 100 1,05 Cette approche sera généralisée dans le para- graphe Modélisation probabiliste .