ALS - Magazine 3 - Janvier 2012

24 / ALS Mag Modèles probabilistes Versus modèles déterministes Eléments de modélisation financière Prenons l’exemple de la mécanique : le mouvement d’un projectile est entièrement déterminé une fois que l’on connaît les conditions initiales, où le projectile a été lancé et avec quelle vitesse. En supposant que ce projectile est uniquement soumis à la gravité, les lois de la mécanique classique newtonienne permettent de prévoir quelles seront sa position et sa vitesse à n’importe quel moment ultérieur. Mais en pratique il est rarement possible de mesurer avec précision les conditions initiales. Par ailleurs certains systèmes sont très sensibles à de petites variations de ces paramètres de départ. Si bien que même si la dynamique d’un système est déterministe, sa trajectoire n’en devient pas pour autant prévisible à court ou moyen terme. C’est un des objets de la théorie du chaos. Construits avec la théorie des Probabilités, les modèles stochastiques sont très utilisés car ils permettent de prendre en compte l’incertain, l’inconnu. Toutefois, si nous reprenons l’exemple précédent du projectile, la nature de la réponse est très différente de celle formulée par une approche déterministe. En effet, une analyse probabiliste ne permet pas de déterminer où sera le projectile à l’instant t. Elle est en revanche capable de dire que le projectile sera dans le voisinage I = (x - h , x + h) de x avec une certaine probabilité p. Ce qui signifie, qu’avec probabilité 1 – p, le projectile n’est pas dans I. La réponse n’est plus certaine, elle implique un risque . Les modèles déterministes sont intensivement utilisés en physique et ont largement prouvé leur efficacité. Article > Pierre VALLOIS Actualisation Un principe clé en finance est l’actualisation . Il n’est pas équivalent, d’un point de vue financier, de détenir 1000 euros aujourd’hui ou dans une semaine. Pour comparer deux flux financiers, on introduit la notion de rendement ou de taux. Ainsi 1 000 euros placés aujourd’hui, au taux annuel de 5 % auront, dans un an, une valeur de : 1000 x (1+ 0,05)=1000 x 1,05=1050 euros. Considérons à présent un produit financier qui libère un flux (fixe) de 100 euros dans un an. Admettons l’existence sur le marché d’un taux de 5 % annuel. La valeur aujourd’hui de cet actif, désignée comme valeur actuelle nette , de ce produit (aujourd’hui) est V= 100 x 1 = 95,238 euros Par conséquent, en plaçant aujourd’hui 95,238 euros au taux de 5 %, on disposera de 100 euros dans un an, pour un achat par exemple. Il est intéressant de combiner les deux approches, déterministes et aléatoires. Certains modèles statistiques (les modèles à effets mixtes) considèrent une dynamique déterministe et des paramètres initiaux aléatoires. Donnons un exemple, celui de la vitesse à laquelle un médicament est assimilé par l’organisme. Lorsqu’un individu prend une quantité Q de médicament, on peut prédire d’une manière certaine à quel moment le médicament sera absorbé par l’organisme. La dynamique est clairement déterministe. Toutefois, en pratique, la donnée initiale Q n’est pas connue avec certitude, elle peut donc être considérée comme aléatoire. Signalons par ailleurs le résultat au premier abord surprenant : dans une situation compétitive entre deux individus, adopter un comportement aléatoire peut être plus efficace. En effet, le fait de se fixer une stratégie et de s’y tenir en toutes circonstances est un comportement prévisible qui peut être découvert par l’adversaire. Ce dernier peut alors en tirer un avantage décisif. L’étude de ce type de compétitions est étudiée intensivement par les mathématiciens et les économistes dans le cadre de la Théorie des Jeux. 1 + 0,05